Una función que es la polla y tiene tetas

Introducción

Este post está motivado por la iniciativa lunesPollas. Y como no llegué a lunesTetas, junto las dos aquí (simbólicamente, claro). No seáis muy crueles, es mi primer post.

¿Qué función es la polla?

Empezaremos por un chiste. Pregunta el profesor a una alumna: "¿Qué parte del cuerpo puede aumentar diez veces su tamaño cuando se utiliza?". La alumna responde sonrojada: "Señor, no debería preguntar eso a una señorita decente como yo." a lo que el profesor replica: "Estaba preguntando por la pupila, pero felicite a su novio de mi parte". No hace falta explicar de dónde viene la confusión de la alumna, ¿no? Y si pensamos en crecimientos "desmesurados" la función que nos viene a la cabeza es la exponencial. Así que vamos a por la exponencial por excelencia: \(f(x) = e^x\). Hay varias formas de definirla, pero nosotros utilizaremos una que resultará luego cómoda, su serie de Taylor, igual te suena como polinomio de Taylor (en realidad, usaremos el de McLaurin, pero no nos pondremos muy pijos). Según nuestro amigo Taylor:
\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \ldots \]
Algunas dudas que te pueden entrar son:

• ¿Qué son las exclamaciones? Representan la función factorial, si quiero escribir el producto \(1\times 2 \times 3 \times 4\) puedo ponerlo más corto simplemente como \(4!\).
• ¿Qué quieren decir los puntitos? Simplemente que la serie sigue y sigue hasta el infinito.
• Pero entonces, ¿no será infinito el resultado? Pues, no. Cojamos el término \(n\). Será de la forma \(\frac{x^n}{n!}\) y cuando \(n\) se hace muy grande, nos da un número muy muy pequeño porque tenemos tantos elementos arriba como abajo pero cuando \(n\) sea más grande que \(x\) la mayoría de los términos del denominador serán mayores que los del numerador.
• Aún así, al sumar muchos pequeñitos, ¿no podrían "irse de madre"? Bueno, a eso lo llamamos diverger. Si se te plantea esa duda, seguramente sabes que la serie \(1+ 1/2+1/2^2+\ldots\) es convergente. Para \(e^x\) podemos hacer una demostración formal, pero como estamos haciendo una presentación light, haremos un poco de blah blah. Fíjate que si \(n\) es muy grande, casi todos los números del denominador serán mayores que el doble del denominador y eso quiere decir que \(\frac{x^n}{2^n}\) será menor que \(1/2^n\). Por lo tanto, puedes ver la serie como una primera parte posiblemente muy grande seguida de un segunda parte muy larga pero cuya suma es menor que uno (hay veces en las que la longitud no lo es todo...).

Ya pero, ¿cuanto crece esta función? Para hacernos una idea de como crece, imaginemos que comienzas a andar a un metro por segundo. Es decir, que tu posición será \(x = t\). Al mismo tiempo, supongamos que logras lanzar verticalmente algo de modo que su posición sea \(y=e^t\). Cuando hayas dado veinte pasos, ya habrá pasado la luna y viajará más rápido que la luz. No me dirás que esta función no es la polla.

Ya, pero yo venía por lo de las tetas

Bueno, estamos en matemáticas, así que tenemos nuestras amigas, las funciones teta y coteta, aunque para ser más formales, las llamaremos seno y coseno. Resulta que sus series de Taylor son:
\[\text{sen}(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \]
para el seno y
\[\text{cos}(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots \]
para el coseno. En ambos casos, \(x\) está en radianes.

Como puedes ver, casi están en \(e^x\) salvo por los signos, que están molestando.  Así que tendremos que usar la imaginación para relacionarlos con ella. En particular, usaremos números imaginarios. Recuerda que \(i\) es \(\sqrt{-1}\), lo que hace que sus potencias sean "raritas". A nosotros nos interesan las potencias de \(xi\) que serán:
\[
  (xi)^0 = 1, (xi)^1 = xi, (xi)^2 = -x^2, (xi)^3 = -x^3i, (xi)^4 = x^4, (xi)^5 = x^5i, \ldots
\]
Como ves, van en un ciclo en que los signos van alternando cada dos términos y las \(i\) aparecen y desaparecen en cada paso. Calculemos ahora \(e^{xi}\):
\[
  e^{xi} = 1 + xi + \frac{(xi)^2}{2!} + \frac{(xi)^3}{3!} + \frac{(xi)^4}{4!} + \frac{(xi)^5}{5!} + \frac{(xi)^6}{6!} + \frac{(xi)^7}{7!} + \ldots
\]
Sustituimos las potencias que hemos visto antes:
\[
  e^{xi} = 1 + xi - \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3i}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5i}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{x^7i}{7!} + \ldots
\]
Y ahora podemos agrupar los términos con \(i\) por un lado y por otro los que no la tienen:
\[
  e^{xi} = \Bigg(1  - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots\Bigg) +
 \Bigg(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}  - \frac{x^7}{7!} + \ldots\Bigg)i.
\]
 Y mira tú por donde, ya tenemos ahí las tetas de nuestra función:
\[ e^{xi} = \cos(x) + i\text{sen}(x). \]

Por cierto, si te acuerdas de que \(cos(\pi) = -1\) y \(\text{sen}(\pi) = 0\), tenemos que
\[ e^{\pi i} = -1, \]
o, como puede que la hayas visto:
\[ e^{\pi i}+1 = 0,\]
que es la ecuación (o identidad) de Euler, que fue uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos. Puedes leer sobre él aquí.
Si te sorprende o no te lo acabas de creer, no estás solo. Esto decía xkcd en uno de sus comics:

 

Esta sorprendente ecuación aparece en lugares insospechados como

Aunque dejo al criterio de cada uno decidir si belleza matemática y estética cutánea están unidas. Lo que es interesante es la circunferencia que tiene encima de la ecuación. Resulta que si dibujamos todos los valores de \(e^xi\) en el plano complejo, podemos darnos cuenta de que son los puntos con coordenadas \((\cos(x), \text{sen}(x))\). Recordando que \(\cos^2(x)+\text{sen}^2(x)=1\) puedes ver que todos estos puntos están en la circunferencia de radio unidad. Así que cuando \(e^x\) se pone a imaginar tetas y cotetas... ¡anda en círculos!

Saludos,
Juan Miguel